Tle Maths - Mathématiques - Loi binomiale - Exercices

Exercice 1 - Espérance, écart-type 11

Validé !

Écrire les fonctions esperance(n,p) et ecart_type(n,p) qui retournent respectivent l'espérance et l'écart-type d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Exercice 2 - Calcul de $p(X = k)$ 21

Validé !

Écrire une fonction binomiale(n,p,k) qui retourne la valeur de $p(X = k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$.

Pour calculer $\displaystyle \binom{n}{k}$, on pourra utiliser la fonction comb du module math.

>>> binomiale(5,0.5,2) 0.3125

Exercice 3 - Calcul de $p(X \leq k)$ 8

Validé !

Écrire une fonction binomiale_inf(n,p,k) qui retourne la valeur, arrondie à $10^{-6}$, de $p(X \leq k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$.

On pourra utiliser la fonction binomiale(n,p,k) définie dans l'exercice précédent.

>>> binomiale_inf(4,0.4,3) 0.9744

Exercice 4 - Calcul de $p(X \geq k)$ 11

Validé !

Écrire une fonction binomiale_sup(n,p,k) qui retourne la valeur arrondie à $10^{-6}$ de $p(X \geq k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$.

On pourra utiliser les fonctions définies dans les exercices précédents.

Exercice 5 - Probabilité maximale 17

Validé !

On lance 10 fois un même dé bien équilibré, et on appelle $X$ le nombre de 2 obtenus à l'issue des 10 lancers.
La probabilité d'obtenir 1 seule fois le chiffre 2, $p(X=1)$, est environ égale à 0,323. Il s'agit dans ce cas de la probabilité maximale : sur 10 lancers, on obtient le plus souvent une seule fois le 2.

Écrire une fonction proba_max(n) qui retourne la valeur de $k$ telle que $p(X = k)$ soit maximale, $X$ étant le nombre de 2 obtenus à l'issue de $n$ lancers.

>>> proba_max(10) 1

Exercice 6 - Loi binomiale inverse : à la recherche de $k$... 7

Validé !

Étant donnés une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ et un réel $\alpha > 0$, écrire une fonction binomiale_inverse(n,p,alpha) qui retourne le plus petit entier $k$ tel que $p(X > k) \leq \alpha$.

Exercice 7 - À la recherche de $n$ 5

Validé !

Étant donnés une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ et un réel $\alpha > 0$, écrire une fonction recherche_n(p,k,alpha) qui retourne le plus grand entier $n$ tel que $p(X_n > k) \leq \alpha$.

Exercice 8 - Problème de la surréservation 9

Validé !

Afin d'éviter de faire voler ses avions avec des sièges vides, une compagnie aérienne décide de pratiquer la surréservation.

Cette pratique consiste à vendre plus de billets qu'il n'y a de places dans l'avion, en sachant que les clients ayant acheté un billet ne se présenteront pas tous à l'embarquement.

On considère un avion de 140 places. On suppose que chaque passager se présente à l'embarquement, indépendamment des autres passagers, avec une probabilité de 0,92.

1) La compagnie a vendu les 140 places, mais souhaite avoir une estimation du nombre minimum $k$ de passagers qui prendront réellement l'avion.
Écrire une fonction nombre_passagers_min() qui retourne ce nombre, au risque d'erreur de 1%.

2) En pratiquant la surréservation, la compagnie peut vendre un nombre $n$ de billets supérieur à 140, en espérant que le nombre de passagers reste inférieur à la capacité totale de l'avion.
Écrire une fonction nombre_billets_max() qui retourne le nombre maximum $n$ de billets que peut vendre la compagnie, tout en s'assurant que ce nombre ne dépasse la capacité de l'avion 99% du temps.

def nombre_passagers_min(): pass def nombre_billets_max(): pass